Questions:
1. The word कर्ता is used many times in the गीता। In which (if any) of those usages has लुँट् been used?
Answer: लुँट् has not been used in any of the forms कर्ता in the गीता। In all cases in the गीता, the form कर्ता is पुंलिङ्गे प्रथमा-एकवचनम् derived from the प्रातिपदिकम् “कर्तृ”। Steps are as follows:

कर्तृ + सुँ । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टा…। The प्रत्यय: “सुँ” has the सर्वनामस्थान-सञ्ज्ञा here by 1-1-43 सुडनपुंसकस्य।
= कर्तृ + स् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= कर्त् अनँङ् + स् । By 7-1-94 ऋदुशनस्पुरुदंसोऽनेहसां च, “ऋत्” (short “ऋ”) ending terms, as well as the terms “उशनस्”, “पुरुदंसस्” and “अनेहस्” get the “अनँङ्” replacement when the “सुँ” suffix, that is not सम्बुद्धिः, follows. As per 1-1-53 ङिच्च, only the ending ऋकार: of “कर्तृ” is replaced.
= कर्त् अन् + स् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= कर्तान् + स् । By 6-4-11 अप्-तृन्-तृच्-स्वसृ-नप्तृ-नेष्टृ-त्वष्टृ-क्षत्तृ-होतृ-पोतृ-प्रशास्तॄणाम्, when a सर्वनामस्थानम् affix that is not a सम्बुद्धिः follows, the penultimate vowel of “अप्”, of words ending in affixes “तृन्” and “तृच्” and of the words “स्वसृ”, “नप्तृ”, “नेष्टृ”, “त्वष्टृ”, “क्षत्तृ”, “होतृ”, “पोतृ” and “प्रशास्तृ” is elongated.
= कर्तान् । By 6-1-68 हल्ङ्याब्भ्यो दीर्घात् सुतिस्यपृक्तं हल्। Now “कर्तान्” gets the पद-सञ्ज्ञा by 1-4-14 सुप्तिङन्तं पदम् with the help of 1-1-62 प्रत्ययलोपे प्रत्ययलक्षणम्।
= कर्ता । By 8-2-7 नलोपः प्रातिपदिकान्तस्य।

2. What would be the final form in this example if आत्मनेपदम् were to be used?
Answer: The final form in this example if आत्मनेपदम् were to be used would also be the same कर्ता। The reason for this is that 2-4-85 लुटः प्रथमस्य डारौरसः applies in both cases.
कृ + लुँट् । By 3-3-15 अनद्यतने लुट्।
= कृ + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= कृ + त । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्।
= कृ + तासिँ + त । By 3-1-33 स्यतासी लृलुटोः।
= कृ + तास् + त । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-9 तस्य लोपः। Note: 7-2-10 एकाच उपदेशेऽनुदात्तात्‌ stops the “इट्”-आगम: (for “तास्”) which would have been done by 7-2-35 आर्धधातुकस्येड् वलादेः।
= कृ + तास् + डा । By 2-4-85 लुटः प्रथमस्य डारौरसः, when they come in place of लुँट्, the third person affixes (“तिप्/त”, “तस्/आताम्”, “झि/झ”) are replaced respectively by “डा”, “रौ” and “रस्”।
= कृ + तास् + आ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-7 चुटू, 1-3-9 तस्य लोपः।
= कर् + तास् + आ । By 7-3-84 सार्वधातुकार्धधातुकयोः, 1-1-51 उरण् रपरः।
= कर्ता । By 6-4-143 टेः, when the अङ्गम् has the भ-सञ्ज्ञा, then its “टि” portion (ref. 1-1-64 अचोऽन्त्यादि टि) takes लोप: when followed by an affix that has डकारः as an indicatory letter.
Note: The अङ्गम् does not have the भ-सञ्ज्ञा here. But still टि-लोप: is done because otherwise no purpose would be served by having डकार: as a इत् in “डा”। डित्वसामर्थ्यादभस्यापि टेर्लोपः।

3. Most monosyllabic verbal roots ending in a ऋकार: (like √कृ) are अनुदात्तोपदेशा: (their vowel has a अनुदात्त-स्वर: in the धातु-पाठ:)। Hence 7-2-10 एकाच उपदेशेऽनुदात्तात् applies. But there are three which are उदात्तोपदेशा: (their vowel has a उदात्त-स्वर: in the धातु-पाठ:)। Which are they?
Answer: The three monosyllabic verbal roots which end in a ऋकार: and are उदात्तोपदेशा: (their vowel has a उदात्त-स्वर: in the धातु-पाठ:) are √वृ (वृङ् सम्भक्तौ ९. ४५), √वृ (वृञ् वरणे ५. ८) and √वृ (वृञ् आवरणे १०. ३४५ (आधृषीय:))। Note: आधृषीय: refers to a verbal root which belongs to the section from √युज् (युजँ संयमने १०. ३३८) to √धृष् (धृषँ प्रसहने १०. ३८८)। The specialty of this section is that these verbal roots take the णिच्-प्रत्यय: only optionally as per the गणसूत्रम् – “आ धृषाद्वा”।

4. Which सूत्रम् is used for the “हि”-आदेश: in the form याहि?
Answer: 3-4-87 सेर्ह्यपिच्च is used for the “हि”-आदेश: in the form याहि derived from the धातुः √या (या प्रापणे, अदादि-गणः, धातु-पाठः २. ४४).
The विवक्षा is लोँट्, कर्तरि प्रयोगः, मध्यम-पुरुषः, एकवचनम्।
या + लोँट् । By 3-3-162 लोट् च ।
= या + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= या + सिप् । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्।
= या + सि । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= या + हि । By 3-4-87 सेर्ह्यपिच्च , “सि” of लोँट् is substituted by “हि” and it is an अपित्।
= या + शप् + हि । By 3-1-68 कर्तरि शप्।
= याहि । By 2-4-72 अदिप्रभृतिभ्यः शपः।

5. Can you spot a “णिच्”-प्रत्यय: in the verses?
Answer: A “णिच्”-प्रत्यय: in the verses is seen in the form प्रसादयामास which is a causative form derived from the धातुः √सद् (षद्ऌँ विशरणगत्यवसादनेषु १. ९९०, ६. १६३). The beginning षकार: of “षदॢँ” is replaced by a सकार: as per 6-1-64 धात्वादेः षः सः। The ending ऌकार: is a इत् as per 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत् and takes लोप: by 1-3-9 तस्य लोपः।
The विवक्षा is लिँट्, कर्तरि प्रयोग: (हेतुमति), प्रथम-पुरुषः, एकवचनम्।

सद् + णिच् । 3-1-26 हेतुमति च – The affix “णिच्” is used after a root, when the operation of a causer – such as the operation of directing – is to be expressed.
= सद् + इ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-7 चुटू, 1-3-9 तस्य लोपः।
= सादि । By 7-2-116 अत उपधायाः।
= सादि । “सादि” gets the धातु-सञ्ज्ञा by 3-1-32 सनाद्यन्ता धातवः।

सादि + लिँट् । By 3-2-115 परोक्षे लिँट्।
= सादि + आम् + लिँट् । By वार्त्तिकम् (under 3-1-35) कास्यनेकाच आम् वक्तव्यो लिँटि।
= सादय् + आम् + लिँट् । By 6-4-55 अयामन्ताल्वाय्येत्न्विष्णुषु।
= सादयाम् । By 2-4-81 आमः।
= सादयाम् + सुँ । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टा…..।
= सादयाम् । By 2-4-81 आमः।
= सादयाम् + अस् + लिँट् । By 3-1-40 कृञ् चानुप्रयुज्यते लिटि, following a term ending in the affix “आम्”, one of the following is annexed:
i. √कृ (डुकृञ् करणे ८. १०) followed by लिँट्
ii. √भू (भू सत्तायाम् १. १) followed by लिँट् or
iii. √अस् (असँ भुवि २. ६०) followed by लिँट्
= सादयाम् + अस् + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= सादयाम् + अस् + तिप् । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्।
= सादयाम् + अस् + णल् । By 3-4-82 परस्मैपदानां णलतुसुस्थलथुसणल्वमाः।
= सादयाम् + अस् + अ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-7 चुटू, 1-3-9 तस्य लोपः।
= सादयाम् + अस् अस् + अ । By 6-1-8 लिटि धातोरनभ्यासस्य। Note: As per 1-1-59 द्विर्वचनेऽचि, we apply 6-1-8 लिटि धातोरनभ्यासस्य before applying 7-2-116 अत उपधायाः।
= सादयाम् + आस् अस् + अ । By 7-4-70 अत आदेः।
= सादयाम् + आ अस् + अ । By 7-4-60 हलादिः शेषः।
= सादयाम् + आ आस् + अ । By 7-2-116 अत उपधायाः।
= सादयामास । By 6-1-101 अकः सवर्णे दीर्घः।

“प्र” is the उपसर्गः (ref. 1-4-59 उपसर्गाः क्रियायोगे।)
प्र + सादयामास = प्रसादयामास ।

6. How would you say this in Sanskrit?
“Arjuna said to Sri Krishna, ‘I will carry out your command.’” Use the neuter प्रातिपदिकम् “शासन” for “command” and (a लुँट् form of) √कृ (तनादि-गणः, डुकृञ् करणे, धातु-पाठः # ८. १०) for “to carry out.”
Answer: तव शासनम् कर्तास्मि इति अर्जुनः श्रीकृष्णम् उवाच = तव शासनं कर्तास्मीत्यर्जुनः श्रीकृष्णमुवाच।

Easy questions:
1. Where has 7-3-108 ह्रस्वस्य गुणः been used in the verse?
Answer: 7-3-108 ह्रस्वस्य गुणः has been used in the verse in the form (हे) दुर्मते (प्रातिपदिकम् “दुर्मति”, पुंलिङ्गे सम्बुद्धि:।)
(हे) दुर्मति + सुँ । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टा………। Here “सुँ” has सम्बुद्धि-सञ्ज्ञा by 2-3-49 एकवचनं सम्बुद्धिः।
= (हे) दुर्मते + सुँ । By 7-3-108 ह्रस्वस्य गुणः, when the सम्बुद्धि: affix follows, there is a गुण: substitute for the (ending letter of) of an अङ्गम् ending in a short vowel.
= (हे) दुर्मते + स् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= (हे) दुर्मते । By 6-1-69 एङ्ह्रस्वात् सम्बुद्धेः, following an अङ्गम् ending in एङ् (“ए” or “ओ”) or a short vowel, a consonant is dropped if it belongs to a सम्बुद्धि: affix.

2. Which सूत्रम् is used for the “आत्”-आदेश: in the form विमानात्?
Answer: 7-1-12 टाङसिङसामिनात्स्याः is used for the “आत्”-आदेश: in the form विमानात् (पुंलिङ्ग-प्रातिपदिकम् “विमान”, पञ्चमी-एकवचनम्।)
विमान + ङसिँ । By 4-1-2 स्वौजसमौट्… ।
= विमान + आत् । By 7-1-12 टाङसिङसामिनात्स्याः, following a प्रातिपदिकम् ending in a अकार:, the affixes “टा”, “ङसिँ” and “ङस्” are replaced respectively by “इन”, “आत्” and “स्य”।
= विमानात् । By 6-1-101 अकः सवर्णे दीर्घः।
= विमानाद् । By 8-2-39 झलां जशोऽन्ते।
= विमानात्/विमानाद् । By 8-4-56 वाऽवसाने।