1. Where has the प्रातिपदिकम् ‘विद्या’ been used independently (not as part of a compound) in the गीता?
Answer: The प्रातिपदिकम् ‘विद्या’ has been used independently in the following verse of the गीता –

सर्गाणामादिरन्तश्च मध्यं चैवाहमर्जुन ।
अध्यात्मविद्या विद्यानां वादः प्रवदतामहम्‌ ।। 10-32 ।। The विवक्षा is षष्ठी-बहुवचनम्।

2. Commenting on the सूत्रम् 3-3-99 संज्ञायां समजनिषदनिपतमनविदषुञ्शीङ्भृञिणः (used in step 1) the काशिका says – भाव इति न स्वर्यते। पूर्व एवात्रार्थाधिकारः। Please explain.
Answer: As per the सूत्रम् 1-3-11 स्वरितेनाधिकारः a term marked with a स्वरित-स्वर: (circumflex accent) is a अधिकार: (governing term) that exerts its influence on the rules that follow. The word भावे mentioned in the सूत्रम् 3-3-98 व्रजयजोर्भावे क्यप्‌ is not marked with a स्वरित-स्वर: and hence does not carry down to the next सूत्रम् 3-3-99 संज्ञायां समजनिषदनिपतमनविदषुञ्शीङ्भृञिणः। We revert to the prior अधिकार: of 3-3-18 भावे and 3-3-19 अकर्तरि च कारके संज्ञायाम्। Thus the affix क्यप् prescribed by the सूत्रम् 3-3-99 is not limited to भावे। It may denote either भावे (the sense of the verbal root as having attained to a completed state) or अकर्तरि च कारके संज्ञायाम् (any कारक: except the agent of the action.)

3. Can you spot the affix ‘ट’ in the verses?
Answer: The affix ‘ट’ has been used in the form निःश्रेयसकरे (प्रातिपदिकम् ‘निःश्रेयसकर’, नपुंसकलिङ्गे प्रथमा-द्विवचनम्)।

Please see answer to question 1 in the following comment for the derivation of the प्रातिपदिकम् ‘निःश्रेयसकर’ – http://avg-sanskrit.org/2012/10/19/विधिकरीः-fap/#comment-5614

4. Which सूत्रम् prescribes the substitution ‘चिण्’ (in place of ‘च्लि’) in the form समजनि (used in the commentary)?
Answer: The substitution ‘चिण्’ (in place of ‘च्लि’) in the form समजनि is prescribed by the सूत्रम् 3-1-61 दीपजनबुधपूरितायिप्यायिभ्योऽन्यतरस्याम् – When the term ‘त’ (आत्मनेपदप्रथमपुरुषैकवचनम्) follows, there is an optional substitution of ‘चिण्’ in place of ‘च्लि’ when following the verbal root √दीप् (दीपीँ दीप्तौ ४. ४५), √जन् (जनीँ प्रादुर्भावे ४. ४४), √बुध् (बुधँ अवगमने ४. ६८), √पूर् (पूरीँ आप्यायने ४. ४६), √ताय् (तायृँ सन्तानपालनयोः १. ५६२) or √प्याय् (ओँप्यायीँ वृद्धौ १. ५६१).

Please see the following post for derivation of the form अजनि – http://avg-sanskrit.org/2012/06/11/अजनि-3as-लुङ्/

‘सम्’ is the उपसर्गः (ref. 1-4-59 उपसर्गाः क्रियायोगे, 1-4-80 ते प्राग्धातोः।)
सम् + अजनि = समजनि।

5. Where has the सूत्रम् 6-4-15 अनुनासिकस्य क्विझलोः क्ङिति been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 6-4-15 अनुनासिकस्य क्विझलोः क्ङिति has been used in the form शान्तिम् (स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘शान्ति’, द्वितीया-एकवचनम्)।

शमनं शान्तिः।

The प्रातिपदिकम् ‘शान्ति’ is derived from the verbal root √शम् (शमुँ उपशमे ४. ९८) as follows –

शम् + क्तिन् । By 3-3-94 स्त्रियां क्तिन् ।
= शम् + ति । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः। Note: 7-2-9 तितुत्रतथसिसुसरकसेषु च prevents the affix क्तिन् from taking the augment इट्।
= शाम् + ति । By 6-4-15 अनुनासिकस्य क्विझलोः क्ङिति – The penultimate vowel of a अङ्गम् which ends in a nasal consonant is elongated when followed by either i) the affix ‘क्वि’ or ii) an affix which begins with a झल् letter and is either कित् or ङित् – has the letter ‘क्’ or the letter ‘ङ्’ as a इत्।
= शां + ति । By 8-3-24 नश्चापदान्तस्य झलि।
= शान्ति । By 8-4-58 अनुस्वारस्य ययि परसवर्णः।
‘शान्ति’ gets प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

6. How would you say this in Sanskrit?
“Śrī Rāma was endowed with knowledge as well as humility.” Use the affix ‘क्त’ with the verbal root √पद् (पदँ गतौ ४. ६५) preceded by the उपसर्ग: ‘सम्’ to create an adjective प्रातिपदिकम् meaning ‘endowed with.’ Use the affix ‘अच्’ (prescribed by 3-3-56 एरच्) with the verbal root √नी (णीञ् प्रापणे १. १०४९) preceded by the उपसर्ग: ‘वि’ to create a masculine noun प्रातिपदिकम् meaning ‘humility.’
Answer: श्रीरामः विद्यया विनयेन च सम्पन्नः बभूव = श्रीरामो विद्यया विनयेन च सम्पन्नो बभूव।

Easy questions:

1. Where has the सूत्रम् 7-2-81 आतो ङितः been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 7-2-81 आतो ङितः has been used in the form कल्पेते derived from the verbal root √कॢप् (कृपूँ सामर्थ्ये १. ८६६).

The विवक्षा is लँट्, कर्तरि प्रयोगः, प्रथम-पुरुषः, द्विवचनम्।
कृप् + लँट् । By 3-2-123 वर्तमाने लट्।
= कृप् + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= कृप् + आताम् । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्, 1-3-12 अनुदात्तङित आत्मनेपदम्।
= कृप् + आते । By 3-4-79 टित आत्मनेपदानां टेरे।
= कृप् + शप् + आते । By 3-1-68 कर्तरि शप्।
= कृप् + अ + आते । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-9 तस्य लोपः।
= कर्प् + अ + आते । By 7-3-86 पुगन्तलघूपधस्य च, 1-1-51 उरण् रपरः।
= कर्प् + अ + इय् ते । By 7-2-81 आतो ङितः – The letter ‘आ’ of a ङित्-प्रत्ययः (an affix which has the letter ‘ङ्’ as a इत्) which follows a अङ्गम् ending in the letter ‘अ’, is replaced by ‘इय्’। Note: Since the affix आताम् has the सार्वधातुक-सञ्ज्ञा (by 3-4-113 तिङ्शित्सार्वधातुकम्) and does not have the letter ‘प्’ as a इत्, it is ङिद्वत् (as if it has the letter ‘ङ्’ as a इत्) by 1-2-4 सार्वधातुकमपित्। This allows 7-2-81 to apply.
= कर्प् + अ + इ ते । By 6-1-66 लोपो व्‍योर्वलि।
= कर्पेते । By 6-1-87 आद्गुणः।
= कल्पेते । By 8-2-18 कृपो रो लः।

2. Why has no सन्धि-कार्यम् been done between निःश्रेयसकरे + उभे?
Answer: निःश्रेयसकरे is नपुंसकलिङ्गे प्रथमा-द्विवचनम् of the प्रातिपदिकम् ‘निःश्रेयसकर’। The letter ‘ए’ at the end of निःश्रेयसकरे gets प्रगृह्य-सञ्ज्ञा by 1-1-11 ईदूदेद्द्विवचनं प्रगृह्यम् – A dual number affix ending in the letter ‘ई’, ‘ऊ’ or ‘ए’ gets the designation ‘प्रगृह्य’। Then, as per 6-1-125 प्लुतप्रगृह्या अचि there is no सन्धि-कार्यम् between the निःश्रेयसकरे and the following अच् (which is the letter ‘उ’ in उभे।) Vowels having the प्रगृह्य-सञ्ज्ञा retain their natural state when followed by a vowel. (This means that no सन्धि-कार्याणि are performed.)