1. The वृत्ति: of the सूत्रम् 6-4-2 हलः (used in step 6) says – अङ्गावयवाद्धलः परं यत्‍संप्रसारणं तदन्‍तस्‍य दीर्घः । Commenting on this the तत्त्वबोधिनी says – अङ्गावयवात्किम्? निरुतम् । तदन्ताङ्गस्य किम्? विध्यति । Please explain.
Answer:
The form निरुतम् is derived from the verbal root √वे (वेञ् तन्तुसन्ताने १. ११६१) preceded by the उपसर्ग: ‘निर्’।
निर् + वे + क्त । By 3-2-102 निष्ठा, 3-4-70 तयोरेव कृत्यक्तखलर्थाः।
= निर् + वे + त । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-9 तस्य लोपः।
= निर् + व् ए + त = निर् + उ ए + त । By 6-1-15 वचिस्वपियजादीनां किति।
= निर् + उ + त । By 6-1-108 सम्प्रसारणाच्च।
Note: By 6-4-2 हलः – (The ending vowel of) a अङ्गम् which ends in a सम्प्रसारणम् (ref 1-1-45) is elongated provided that सम्प्रसारणम् follows a consonant that belongs to the अङ्गम्।
Here, the सम्प्रसारणम् (the vowel ‘उ’) is preceded by the consonant ‘र्’ but this consonant does not belong to the अङ्गम् ‘उ’। Hence 6-4-2 हलः cannot apply. This is what is meant by अङ्गावयवात्किम्? निरुतम् ।
= निरुत । ‘निरुत’ gets the प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

The form विध्यति is derived from the verbal root √व्यध् (व्यधँ ताडने ४. ७८).
व्यध् + लँट् । By 3-2-123 वर्तमाने लट्।
= व्यध् + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= व्यध् + तिप् । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्, 1-3-78 शेषात् कर्तरि परस्मैपदम्।
= व्यध् + ति । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= व्यध् + श्यन् + ति । By 3-1-69 दिवादिभ्यः श्यन्।
= व्यध् + य + ति । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= व् य् अध् + य + ति = व् इ अध् + य + ति । By 6-1-16 ग्रहिज्यावयिव्यधिवष्टिविचतिवृश्चतिपृच्छतिभृज्जतीनां ङिति च। (Note: Since the सार्वधातुक-प्रत्यय: ‘श्यन्’ is अपित्, by 1-2-4 it behaves ङिद्वत् – as if it has the letter ‘ङ्’ as a इत्। This allows 6-1-16 to apply)
= व् इध् + य + ति । By 6-1-108 सम्प्रसारणाच्च।
Note: By 6-4-2 हलः – (The ending vowel of) a अङ्गम् which ends in a सम्प्रसारणम् (ref 1-1-45) is elongated provided that सम्प्रसारणम् follows a consonant that belongs to the अङ्गम्।
Here, the अङ्गम् ‘विध्’ does not end in the सम्प्रसारणम् (the vowel ‘इ’) but ends in the consonant ‘ध्’। Hence 6-4-2 हलः cannot apply. This is what is meant by तदन्ताङ्गस्य किम्? विध्यति ।
= विध्यति ।

2. Can you recall a सूत्रम् in which पाणिनि: specifically mentions the verbal root √ध्यै (ध्यै चिन्तायाम् १. १०५६)?
Answer: पाणिनि: specifically mentions the verbal root √ध्यै (ध्यै चिन्तायाम् १. १०५६) in the सूत्रम् 8-2-57 न ध्याख्यापॄमूर्च्छिमदाम् – When following the verbal root √ध्यै (ध्यै चिन्तायाम् १. १०५६) or √ख्या (ख्या प्रकथने २. ५५) or √पॄ (पॄ पालनपूरणयोः ३. ४) or √मूर्च्छ् (मूर्च्छाँ मोहनसमुच्छ्राययोः १. २४०) or √मद् (मदीँ हर्षे ४. १०५), the letter ‘त्’ of a निष्ठा affix (ref. 1-1-26) is not replaced by the letter ‘न्’।

3. Where has the सूत्रम् 6-4-92 मितां ह्रस्वः been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 6-4-92 मितां ह्रस्वः has been used in the form शमयन् (पुंलिङ्गे प्रथमा-एकवचनम्) derived from the causative form of the verbal root √शम् (शमुँ उपशमे ४. ९८).

शम् + णिच् । By 3-1-26 हेतुमति च।
= शाम् + णिच् । By 7-2-116 अत उपधायाः।
= शम् + णिच् । By 6-4-92 मितां ह्रस्वः, a short vowel (ह्रस्व:) is substituted in place of the penultimate letter (vowel) of a verbal root which is मित् (has the letter ‘म्’ as an इत्) and is followed by the causative affix ‘णि’। Note: √शम् is a मित् as per the गणसूत्रम् – जनीजॄष्क्नसुरञ्जोऽमन्ताश्च – The verbal roots √जन् (जनीँ प्रादुर्भावे ४. ४४), √जॄ (जॄष् वयोहानौ ४. २५), √क्नस् (क्नसुँ ह्वरणदीप्त्योः ४. ७), √रञ्ज् (रञ्जँ रागे १. ११५४) as well as any verbal root ending in ‘अम्’ is considered to be ‘मित्’ (having the letter ‘म्’ an an इत्)।
= शम् + इ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-7 चुटू, 1-3-9 तस्य लोपः।
= शमि। ‘शमि’ gets धातु-सञ्ज्ञा by 3-1-32 सनाद्यन्ता धातवः।

= शमि + लँट् । By 3-2-123 वर्तमाने लट्।
= शमि + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= शमि + शतृँ । By 3-2-126 लक्षणहेत्वोः क्रियायाः, 1-3-78 शेषात् कर्तरि परस्मैपदम्।
= शमि + अत् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= शमि + शप् + अत् । By 3-1-68 कर्तरि शप्‌।
= शमि + अ + अत् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= शमे + अ + अत् । By 7-3-84 सार्वधातुकार्धधातुकयोः।
= शमय् + अ + अत् = शमय + अत् । By 6-1-78 एचोऽयवायावः।
= शमयत् । By 6-1-97 अतो गुणे। ‘शमयत्’ gets the प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

The derivation of the form शमयन् from the प्रातिपादिकम् ‘शमयत्’ is similar to the derivation of विदन् from the प्रातिपादिकम् ‘विदत्’ shown in answer to question 2 in the following comment –
http://avg-sanskrit.org/2012/12/31/विद्वान्-mns/#comment-12135

4. Which कृत् affix is used to form the प्रातिपदिकम् ‘समुत्थ’?
Answer: The कृत् affix ‘क’ is used to form the कृदन्त-प्रातिपदिकम् ‘समुत्थ’ derived from the verbal root √स्था (ष्ठा गतिनिवृत्तौ १. १०७७) along with the उपसर्गौ ‘सम्’ and ‘उद्’।

सम् उद् स्था + क । By 3-1-136 आतश्चोपसर्गे – The affix ‘क’ may be used after a verbal root ending in the letter ‘आ’, when in composition with a उपसर्गः (ref: 1-4-59 उपसर्गाः क्रियायोगे)।
= सम् उद् स्था + अ । अनुबन्ध-लोप: by 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= सम् उद् स्थ् + अ । By 6-4-64 आतो लोप इटि च।
= समुत् स्थ । By 8-4-55 खरि च।
= समुत् थ्थ । By 8-4-61 उदः स्थास्तम्भोः पूर्वस्य।
= समुत्थ्थ/समुत्थ By 8-4-65 झरो झरि सवर्णे।

‘समुत्थ्थ/समुत्थ’ gets प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

5. Can you spot the augment ‘उम्’ in the verses?
Answer: The augment ‘उम्’ is seen in the form व्यवोचत्। Please see the following post for derivation of the form व्यवोचत् – http://avg-sanskrit.org/2012/05/02/व्यवोचत्-3as-लुँङ्/

6. How would you say this in Sanskrit?
Arjuna asked Śrī Kṛṣṇa – “What are the characteristics of one whose intellect is steady?” Use the neuter noun ‘लक्षण’ for ‘characteristic.’
Answer: यस्य धी: स्थिता तस्य कानि लक्षणानि इति अर्जुनः श्रीकृष्णम् पप्रच्छ = यस्य धी: स्थिता तस्य कानि लक्षणानीत्यर्जुनः श्रीकृष्णं पप्रच्छ।

Easy questions:

1. Where has the verbal root √इ (इण् गतौ २. ४०) been used in a तिङन्तं पदम् in the verses?
Answer: The verbal root √इ (इण् गतौ २. ४०) has been used in a तिङन्तं पदम् in the form इहि।

Please see answer to question 5 in the following comment for derivation of the form इहि – http://avg-sanskrit.org/2012/05/02/व्यवोचत्-3as-लुँङ्/#comment-3687

2. In the verses can you spot a प्रातिपदिकम् which is used only in the plural?
Answer: The स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘अप्’ (used in the form अपाम्) is a नित्यं बहुवचनान्त-शब्द:।

The विवक्षा in अपाम् is षष्ठी-बहुवचनम्।
अप् + आम् । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टाभ्याम्भिस्ङेभ्याम्भ्यस्ङसिभ्याम्भ्यस्ङसोसाम्ङ्योस्सुप्‌।
= अपाम् । 1-3-4 न विभक्तौ तुस्माः prevents the ending letter ‘म्’ of ‘आम्’ from getting the इत्-सञ्ज्ञा।