1. Where has उपसंगम्य/उपसङ्गम्य been used in Chapter One of the गीता? Identify the common doer and the later action done by the common doer.
Answer: उपसंगम्य/उपसङ्गम्य has been used in the following verse of the गीता –
दृष्ट्वा तु पाण्डवानीकं व्यूढं दुर्योधनस्तदा |
आचार्यमुपसंगम्य राजा वचनमब्रवीत्‌ || 1-2||

Here the common agent of the actions उपसंगम्य (having approached) and अब्रवीत्‌ (spoke) is राजा दुर्योधनः (King Duryodhana.)

2. What would be the optional final form in this example in the case where the letter ‘म्’ of √गम् is elided (by 6-4-38 वा ल्यपि)?
Answer: The optional final form would be उपसंगत्य/उपसङ्गत्य ।

Derivation is as follows:

गम् + क्त्वा । By 3-4-21 समानकर्तृकयोः पूर्वकाले।
= उप + सम् + गम् + क्त्वा । ‘गम् + क्त्वा’ is compounded with ‘उप’ and ‘सम्’ using the सूत्रम् 2-2-18 कुगतिप्रादयः।
= उप + सम् + गम् + ल्यप् । By 7-1-37 समासेऽनञ्पूर्वे क्त्वो ल्यप्‌, 1-1-55 अनेकाल्शित्सर्वस्य।
Note: As per 1-1-56 स्थानिवदादेशोऽनल्विधौ, the substitution ‘ल्यप्’ (in place of the affix ‘क्त्वा’) inherits the property of being a कित् (having the letter ‘क्’ as a इत्) affix with the designation of कृत् (by 3-1-93 कृदतिङ्) and आर्धधातुकम् (by 3-4-114 आर्धधातुकं शेषः।)
= उप + सम् + गम् + य । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= उप + सम् + ग + य । As per 6-4-38 वा ल्यपि – When followed by the affix ल्यप्, there is an optional elision of the final nasal consonant of the verbal roots* which have अनुदात्त-स्वरः in the धातु-पाठः as well as the verbal root √वन् (वनँ शब्दे १. ५३३, वनँ सम्भक्तौ १. ५३४, वनुँ च नोच्यते १. ९१५) and the verbal roots belonging to the तनादि-गणः।
Note: * सिद्धान्त-कौमुदी – ‘यमिरमिनमिगमिहनिमन्यतयोऽनुदात्तोपदेशाः।’ The following six roots end in a nasal consonant and have a अनुदात्त-स्वरः in the धातु-पाठः।
√यम् (यमँ उपरमे १. ११३९), √रम् (रमुँ क्रीडायाम् | रमँ इति माधवः १. ९८९), √नम् (णमँ प्रह्वत्वे शब्दे च १. ११३६), √गम् (गमॢँ गतौ १. ११३७), √हन् (हनँ हिंसागत्योः २. २) and √मन् (मनँ ज्ञाने ४. ७३)।
Note: सिद्धान्त-कौमुदी says – व्यवस्थितविभाषेयम् । तेन मान्तानिटां वा, नान्तानिटां वनादीनां च नित्यम् । The elision (prescribed by 6-4-38) is optional in the case of the verbal roots which end in the letter ‘म्’ and have अनुदात्त-स्वरः in the धातु-पाठः। In the remaining cases the elision is invariable (not optional.)
= उप + सम् + ग तुँक् + य । By 6-1-71 ह्रस्वस्य पिति कृति तुक्, 1-1-46 आद्यन्तौ टकितौ।
= उप + सम् + गत्य । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम् and 1-3-9 तस्य लोपः।
= उप + सं + गत्य । By 8-3-23 मोऽनुस्वारः।
= उपसंगत्य/उपसङ्गत्य । By 8-4-59 वा पदान्तस्य।

3. In the verses, can you spot three other instances (besides उपसङ्गम्य) where the सूत्रम् 7-1-37 समासेऽनञ्पूर्वे क्त्वो ल्यप्‌ has been used?
Answer: The सूत्रम् 7-1-37 समासेऽनञ्पूर्वे क्त्वो ल्यप्‌ has also been used in the following forms अवेक्ष्य, समुत्थाय and अभिमृश्य।

अवेक्ष्य – derived from the verbal root √ईक्ष् (ईक्षँ दर्शने १. ६९४) preceded by the उपसर्गः ‘अव’।

ईक्ष् + क्त्वा । By 3-4-21 समानकर्तृकयोः पूर्वकाले।
= अव ईक्ष् + क्त्वा । ‘ईक्ष् + क्त्वा’ is compounded with ‘अव’ using the सूत्रम् 2-2-18 कुगतिप्रादयः।
= अव ईक्ष् + ल्यप् । By 7-1-37 समासेऽनञ्पूर्वे क्त्वो ल्यप्‌ – When the affix ‘क्त्वा’ occurs at the end of a compound, it is replaced by ‘ल्यप्’ provided the prior member of the compound is a अव्‍ययम् other than ‘नञ्’ (ref. 2-2-6 नञ्‌)।
Note: As per 1-1-56 स्थानिवदादेशोऽनल्विधौ, the substitution ‘ल्यप्’ (in place of the affix ‘क्त्वा’) inherits the property of being a कित् (having the letter ‘क्’ as a इत्) affix with the designation of कृत् (by 3-1-93 कृदतिङ्) and आर्धधातुकम् (by 3-4-114 आर्धधातुकं शेषः।)
Note: As per 1-1-55 अनेकाल्शित्सर्वस्य, the entire affix ‘क्त्वा’ (and not just its last letter) is replaced by the substitution ‘ल्यप्’।
= अव ईक्ष् + य । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= अवेक्ष्य । By 6-1-87 आद्गुणः।

समुत्थाय – derived from the verbal root √स्था (ष्ठा गतिनिवृत्तौ १. १०७७) preceded by the उपसर्गौ ‘सम्’ and ‘उद्’।

स्था + क्त्वा । By 3-4-21 समानकर्तृकयोः पूर्वकाले।
= सम् उद् स्था + क्त्वा । ‘स्था + क्त्वा’ is compounded with ‘सम्’ and ‘उद्’ using the सूत्रम् 2-2-18 कुगतिप्रादयः।
= सम् उद् स्था + ल्यप् । By 7-1-37 समासेऽनञ्पूर्वे क्त्वो ल्यप्‌ – When the affix ‘क्त्वा’ occurs at the end of a compound, it is replaced by ‘ल्यप्’ provided the prior member of the compound is a अव्‍ययम् other than ‘नञ्’ (ref. 2-2-6 नञ्‌)।
Note: As per 1-1-56 स्थानिवदादेशोऽनल्विधौ, the substitution ‘ल्यप्’ (in place of the affix ‘क्त्वा’) inherits the property of being a कित् (having the letter ‘क्’ as a इत्) affix with the designation of कृत् (by 3-1-93 कृदतिङ्) and आर्धधातुकम् (by 3-4-114 आर्धधातुकं शेषः।)
Note: As per 1-1-55 अनेकाल्शित्सर्वस्य, the entire affix ‘क्त्वा’ (and not just its last letter) is replaced by the substitution ‘ल्यप्’।
= सम् उद् स्था + य । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= सम् उत् स्था + य । By 8-4-55 खरि च।
= सम् उत् थ्था + य । By 8-4-61 उदः स्थास्तम्भोः पूर्वस्य, 1-1-54 आदेः परस्य, 1-1-50 स्थानेऽन्तरतमः।
= समुत्थ्थाय/समुत्थाय । By 8-4-65 झरो झरि सवर्णे – Following a consonant (हल्), a झर् letter is optionally elided if it is followed by a झर् letter that is सवर्ण: with it.

अभिमृश्य – derived from the verbal root √मृश् (मृशँ आमर्शणे ६.१६१) preceded by the उपसर्गः ‘अभि’।

मृश् + क्त्वा । By 3-4-21 समानकर्तृकयोः पूर्वकाले। Note: 1-1-5 क्क्ङिति च prevents 7-3-86 पुगन्तलघूपधस्य च from applying.
= अभि मृश् + क्त्वा । ‘मृश् + क्त्वा’ is compounded with ‘अभि’ using the सूत्रम् 2-2-18 कुगतिप्रादयः।
= अभि मृश् + ल्यप् । By 7-1-37 समासेऽनञ्पूर्वे क्त्वो ल्यप्‌ – When the affix ‘क्त्वा’ occurs at the end of a compound, it is replaced by ‘ल्यप्’ provided the prior member of the compound is a अव्‍ययम् other than ‘नञ्’ (ref. 2-2-6 नञ्‌)।
Note: As per 1-1-56 स्थानिवदादेशोऽनल्विधौ, the substitution ‘ल्यप्’ (in place of the affix ‘क्त्वा’) inherits the property of being a कित् (having the letter ‘क्’ as a इत्) affix with the designation of कृत् (by 3-1-93 कृदतिङ्) and आर्धधातुकम् (by 3-4-114 आर्धधातुकं शेषः।)
Note: As per 1-1-55 अनेकाल्शित्सर्वस्य, the entire affix ‘क्त्वा’ (and not just its last letter) is replaced by the substitution ‘ल्यप्’।
= अभि मृश् + य । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= अभिमृश्य ।

4. Commenting on the सूत्रम् 6-4-38 वा ल्यपि (used in step 6) the सिद्धान्त-कौमुदी says – व्यवस्थितविभाषेयम् । तेन मान्तानिटां वा, नान्तानिटां वनादीनां च नित्यम् । Please explain.
Answer: व्यवस्थित-विभाषा means – An option which does not apply universally in all instances of a rule, which prescribes an operation optionally, but applies necessarily in some cases, and does not apply at all in the other cases, the total result being an option regarding the conduct of the rule.
The सूत्रम् 6-4-38 prescribes an operation (elision of the final nasal consonant of certain verbal roots) optionally (वा)। But this option is not universal. It is a व्यवस्थित-विभाषा। The operation is optional in the case of the verbal roots which end in the letter ‘म्’ and do not allow the augment इट्। In the remaining cases – of the verbal roots which end in the letter ‘न्’ and do not allow the augment इट् and also of the verbal root √वन् (वनँ शब्दे १. ५३३, वनँ सम्भक्तौ १. ५३४, वनुँ च नोच्यते १. ९१५) and the verbal roots belonging to the तनादि-गणः – the elision is invariable (not optional.)

5. How would you say this in Sanskrit?
Approaching (having approached) Śrī Rāma, Śrī Hanumān said – ‘I am a servant of Surgrīva the king of monkeys.’
Answer: श्रीरामम् उपसङ्गम्य/उपसङ्गत्य श्रीहनुमान् वानराणाम् राज्ञः सुग्रीवस्य सेवकः अस्मि इति उवाच = श्रीराममुपसङ्गम्य/श्रीराममुपसङ्गत्य श्रीहनुमान् वानराणां राज्ञः सुग्रीवस्य सेवकोऽस्मीत्युवाच ।

Advanced question:

1. Consider the सूत्रम् 8-3-63 प्राक्सितादड्व्यवायेऽपि। The वृत्ति: says – ‘सेवसित -‘ इत्यत्र सितशब्दात्प्राग् ये सुनोत्यादयस्तेषामड्व्यवायेऽपि षत्वं स्यात् – The substitution ‘ष्’ (in place of ‘स्’) of the verbal roots √सु (षुञ् अभिषवे ५. १) etc mentioned in the rules 8-3-65 उपसर्गात्‌ सुनोतिसुवतिस्यतिस्तौतिस्तोभतिस्थासेनयसेधसिचसञ्जस्वञ्जाम् onward prior to term ‘सित’ (mentioned in 8-3-70 परिनिविभ्यः सेवसितसयसिवुसहसुट्स्तुस्वञ्जाम्) occurs even when the augment ‘अट्’ intervenes (between the इण् letter which is the cause for the substitution and the letter ‘स्’ which is substituted.)
In this section from 8-3-65 onward prior to the mention of ‘सित’ in 8-3-70 can you find a सूत्रम् which justifies the substitution ‘ष्’ (in place of ‘स्’) in the form न्यषीदत् used in the verses? Hint: The form न्यषीदत् is derived from the verbal root √सद् (षद्ऌँ विशरणगत्यवसादनेषु १. ९९०, ६. १६३). The सूत्रम् that we’re looking for specifically mentions √सद्।
Answer: The सूत्रम् is 8-3-66 सदिरप्रतेः – The letter ‘स्’ of the verbal root √सद् (षद्ऌँ विशरणगत्यवसादनेषु १. ९९०, ६. १६३) is replaced by the letter ‘ष्’ when it follows a उपसर्गः which ends in a इण् letter, even if the augment ‘अट्’ intervenes (between the इण् letter which is the cause for the substitution and the letter ‘स्’ which is substituted.)
Here in न्यषीदत्, the letter ‘स्’ of the verbal root √सद् (षद्ऌँ विशरणगत्यवसादनेषु १. ९९०, ६. १६३) is preceded by the उपसर्गः ‘नि’ which ends in the इण् letter ‘इ’। Therefore, as per the सूत्रम् 8-3-66 सदिरप्रतेः it is substituted by the letter ‘ष्’ even though the augment ‘अट्’ intervenes (between the इण् letter which is the cause for the substitution and the letter ‘स्’ which is substituted.)

Easy questions:

1. Where has the सूत्रम् 7-1-12 टाङसिङसामिनात्स्याः been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 7-1-12 टाङसिङसामिनात्स्याः has been used in the verses in the form आसनात् (नपुंसकलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘आसन’, पञ्चमी-एकवचनम्)।

आसन + ङसिँ । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टा..।
= आसन + आत् । By 7-1-12 टाङसिङसामिनात्स्याः – Following a अङ्गम् ending in the letter ‘अ’, the affixes ‘टा’, ‘ङसिँ’ and ‘ङस्’ are replaced respectively by ‘इन’, ‘आत्’ and ‘स्य’। Note: As per the परिभाषा-सूत्रम् 1-3-10 यथासंख्यमनुदेशः समानाम् the substitutions are done respectively.
= आसनात् । By 6-1-101 अकः सवर्णे दीर्घः।

2. Which सूत्रम् prescribes the substitution णल् (in place of तिप्) in the form विवेश?
Answer: The सूत्रम् 3-4-82 परस्मैपदानां णलतुसुस्थलथुसणल्वमाः prescribes the substitution णल् (in place of तिप्) in the form विवेश – derived from the verbal root √विश् (विशँ प्रवेशने ६. १६०).

Please see answer to question 4 in the following comment for derivation of the form विवेश – http://avg-sanskrit.org/2012/09/20/कृत्यम्-nas/#comment-4501