1. Where has the सूत्रम् 1-4-46 अधिशीङ्स्थासां कर्म been used in the first ten verses of Chapter Four of the गीता?
Answer: The सूत्रम् 1-4-46 अधिशीङ्स्थासां कर्म has been used in the following verse of the गीता to assign the कर्म-सञ्ज्ञा to ‘प्रकृति’ (and the pronoun ‘स्वा’)।
अजोऽपि सन्नव्ययात्मा भूतानामीश्वरोऽपि सन्‌ |
प्रकृतिं स्वामधिष्ठाय सम्भवाम्यात्ममायया || 4-6||

2. The सूत्रम् 1-4-46 अधिशीङ्स्थासां कर्म is a अपवाद: (exception) to which सूत्रम्?
Answer: The सूत्रम् 1-4-46 अधिशीङ्स्थासां कर्म is a अपवाद: (exception) to the prior सूत्रम् 1-4-45 आधारोऽधिकरणम् which would have assigned the designation अधिकरणम् to the location of the action.

3. Why is उद्वहिष्यामि a आर्ष-प्रयोग: (irregular grammatical usage)?
Answer: The form उद्वहिष्यामि is a आर्ष-प्रयोग: because the augment ‘इट्’ is not justified here. The grammatically correct form is उद्वक्ष्यामि – derived from the verbal root √वह् (वहँ प्रापणे १. ११५९).
Please refer to the answer to question 4 in the following comment for derivation of the form वक्ष्यामि – http://avg-sanskrit.org/2012/10/24/जनमेजयः-mns/#comment-5711

‘उद्’ is the उपसर्गः (ref. 1-4-59 उपसर्गाः क्रियायोगे, 1-4-80 ते प्राग्धातोः।)
उद् + वक्ष्यामि = उद्वक्ष्यामि।

4. Can you spot the augment मुँम् in the verses?
Answer: The augment मुँम् occurs in the form (हे) अरिन्दम (प्रातिपदिकम् ‘अरिन्दम’, पुंलिङ्गे सम्बुद्धि:)।

Please refer to answer to question 4 in the following comment for derivation of the form अरिन्दम – http://avg-sanskrit.org/2013/01/30/विभो-mvs/#comment-18311

5. Where has the सूत्रम् 6-4-37 अनुदात्तोपदेशवनतितनोत्यादीनामनुनासिकलोपो झलि क्ङिति been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 6-4-37 अनुदात्तोपदेशवनतितनोत्यादीनामनुनासिकलोपो झलि क्ङिति has been used in the form आगतः (प्रातिपदिकम् ‘आगत’, पुंलिङ्गे प्रथमा-एकवचनम्)।

The प्रातिपदिकम् ‘आगत’ is derived from the verbal root √गम् (गमॢँ गतौ १. ११३७) preceded by the उपसर्गः ‘आङ्’ as follows:
गम् + क्त । By 3-2-102 निष्ठा। Note: The affix ‘क्त’ has been used कर्तरि (to denote the agent of the action) here as per 3-4-72 गत्यर्थाकर्मकश्लिषशीङ्स्थासवसजनरुहजीर्यतिभ्यश्च।
= गम् + त । अनुबन्ध-लोप: by 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः। Note: 7-2-10 एकाच उपदेशेऽनुदात्तात्‌ prevents the affix ‘त’ from taking the augment ‘इट्’ which would have been done by 7-2-35 आर्धधातुकस्येड् वलादेः।
= गत । By 6-4-37 अनुदात्तोपदेशवनतितनोत्यादीनामनुनासिकलोपो झलि क्ङिति – There is an elision of the final nasal consonant of the verbal root √वन् (वनँ शब्दे १. ५३३, वनँ सम्भक्तौ १. ५३४, वनुँ च नोच्यते १. ९१५) and of the verbal roots* which have अनुदात्त-स्वरः in the धातु-पाठः as well as of the verbal roots** belonging to the तनादि-गणः – when followed by a झलादि-प्रत्ययः which is a कित् or a ङित्।

Note: * सिद्धान्त-कौमुदी – ‘यमिरमिनमिगमिहनिमन्यतयोऽनुदात्तोपदेशाः।’ The following six roots end in a nasal consonant and have a अनुदात्त-स्वरः in the धातु-पाठः।
√यम् (यमँ उपरमे १. ११३९), √रम् (रमुँ क्रीडायाम् | रमँ इति माधवः १. ९८९), √नम् (णमँ प्रह्वत्वे शब्दे च १. ११३६), √गम् (गमॢँ गतौ १. ११३७), √हन् (हनँ हिंसागत्योः २. २) and √मन् (मनँ ज्ञाने ४. ७३)।

‘गत’ is compounded with the उपसर्गः ‘आङ्’ using the सूत्रम् 2-2-18 कुगतिप्रादयः।
आङ् + गत = आगत । अनुबन्ध-लोप: by 1-3-3 हलन्त्यम् and 1-3-9 तस्य लोपः।
‘आगत’ gets प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

6. How would you say this in Sanskrit?
“Lord Viṣṇu occupies (presides over) Vaikuṇṭha.”
Answer: भगवान् विष्णुः वैकुण्ठम् अधितिष्ठति = भगवान् विष्णुर्वैकुण्ठमधितिष्ठति।

Easy questions:

1. Which सूत्रम् prescribes the substitution आम् in आस्ताम्?
Answer: The substitution ‘आम्’ in the form आस्ताम् is prescribed by the सूत्रम् 3-4-90 आमेतः।

The form ‘आस्ताम्’ used in the verses is derived from the verbal root √आस् (आसँ उपवेशने २. ११). The विवक्षा is लोँट्, कर्तरि प्रयोगः, प्रथम-पुरुष:, एकवचनम्।
आस् + लोँट् । By 3-3-162 लोट् च।
= आस् + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= आस् + त । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्, 1-3-12 अनुदात्तङित आत्मनेपदम्।
= आस् + ते । By 3-4-79 टित आत्मनेपदानां टेरे।
= आस् + ताम् । By 3-4-90 आमेतः – the letter ‘ए’ of लोँट् is replaced by आम्। 1-3-4 न विभक्तौ तुस्माः prevents the ending letter ‘म्’ of ‘ताम्’ from getting the इत्-सञ्ज्ञा।
= आस् + शप् + ताम् । By 3-1-68 कर्तरि शप्‌।
= आस्ताम् । By 2-4-72 अदिप्रभृतिभ्यः शपः।

2. Where has the सूत्रम् 7-4-50 तासस्त्योर्लोपः been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 7-4-50 तासस्त्योर्लोपः has been used in the verses in the form असि।
Please see answer to easy question 2 in the following comment for the derivation of the form असि – http://avg-sanskrit.org/2012/10/24/जनमेजयः-mns/#comment-5711