1. Where has the सूत्रम् 2-3-41 यतश्च निर्धारणम्‌ (used in step 1) been used for the first time in Chapter Ten of the गीता?
Answer: The सूत्रम् 2-3-41 यतश्च निर्धारणम्‌ has been used in the form आदित्यानाम् (पुंलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘आदित्य’, षष्ठी-बहुवचनम्)।

आदित्यानामहं विष्णुर्ज्योतिषां रविरंशुमान्‌ |
मरीचिर्मरुतामस्मि नक्षत्राणामहं शशी || 10-21||

‘विष्णु’ is being singled out from the group denoted by ‘आदित्य’। Hence the conditions for applying 2-3-41 are satisfied and a sixth case affix is used following the प्रातिपदिकम् ‘आदित्य’। (A seventh case affix could have also been used.)

2. What are the alternate forms for गोप्तरि (प्रातिपदिकम् ‘गोप्तृ’, पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्)? (Hint: Consider the सूत्रम् 7-2-44 स्वरतिसूतिसूयतिधूञूदितो वा and the सूत्रम् 3-1-31 आयादय आर्धधातुके वा।)
Answer: The alternate form using the सूत्रम् 7-2-44 स्वरतिसूतिसूयतिधूञूदितो वा is गोपितरि (प्रातिपदिकम् ‘गोपितृ’, पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्)। As per 7-2-44 स्वरतिसूतिसूयतिधूञूदितो वा – A आर्धधातुकम् affix beginning with a letter of the वल्-प्रत्याहारः optionally gets the augment इट् when following a verbal root that is ऊदित् (has the letter ‘ऊ’ as इत्) or the verbal root √स्वृ (स्वृ शब्दोपतापयोः १. १०८१) or √सू (षूङ् प्राणिगर्भविमोचने २. २५) or √सू (षूङ् प्राणिप्रसवे ४. २७) or √धू (धूञ् कम्पने ५. १०, ९. २०).
In the verses the प्रातिपदिकम् ‘गोप्तृ’ (which is without the optional augment इट्) has been used. In the case where the augment इट् is applied the resulting प्रातिपदिकम् is ‘गोपितृ’। The derivation is as follows –

The verbal root is √गुप् (गुपूँ रक्षणे १. ४६१).
गुप् + तृच् । By 3-1-133 ण्वुल्तृचौ – The affixes ‘ण्वुल्’ and ‘तृच्’ may be used after a verbal root. Note: As per 3-4-67 कर्तरि कृत्‌, these affixes are used in the sense of the agent of the action.
= गुप् + तृ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः। Note: ‘तृ’ gets आर्धधातुक-सञ्ज्ञा by 3-4-114 आर्धधातुकं शेषः।
= गुप् + इट् तृ । By 7-2-44 स्वरतिसूतिसूयतिधूञूदितो वा, 1-1-46 आद्यन्तौ टकितौ। Note: The verbal root √गुप् (गुपूँ रक्षणे १. ४६१) has the letter ‘ऊ’ as a इत्। This allows us to apply 7-2-44 here.
= गुप् + इ तृ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= गोप् + इ तृ । By 7-3-86 पुगन्तलघूपधस्य च।
= गोपितृ । ‘गोपितृ’ gets the प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

The विवक्षा is पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्।
गोपितृ + ङि । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टाभ्याम्भिस्ङेभ्याम्भ्यस्ङसिभ्याम्भ्यस्ङसोसाम्ङ्योस्सुप्‌।
= गोपितृ + इ । अनुबन्ध-लोप: by 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-9 तस्य लोपः।
= गोपितर् + इ | By 7-3-110 ऋतो ङिसर्वनामस्थानयोः, 1-1-51 उरण् रपरः।
= गोपितरि।

The alternate form using the सूत्रम् 3-1-31 आयादय आर्धधातुके वा is गोपायितरि (प्रातिपदिकम् ‘गोपायितृ’, पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्)। As per 3-1-31 आयादय आर्धधातुके वा – When the intention is to add a आर्धधातुक-प्रत्यय:, the affixes ‘आय’ etc. (prescribed by the prior three rules – 3-1-28 गुपूधूपविच्छिपणिपनिभ्य आयः, 3-1-29 ऋतेरीयङ् and 3-1-30 कमेर्णिङ्) are added to the धातु: only optionally. In the verses the optional affix ‘आय’ has not been applied. In the case where the affix ‘आय’ is applied the resulting प्रातिपदिकम् is ‘गोपायितृ’। The derivation is as follows –

गुप् + आय । By 3-1-28 गुपूधूपविच्छिपणिपनिभ्य आयः – The roots √गुप् (गुपूँ रक्षणे १. ४६१), √धूप् (धूपँ सन्तापे १. ४६२), √विच्छ् (विच्छँ गतौ ६. १५९), √पण् (पणँ व्यवहारे स्तुतौ च १. ५०७), and √पन् (पनँ च [व्यवहारे स्तुतौ च] १. ५०८) get the affix ‘आय’ and their sense is unaffected.
= गोप् + आय । By 7-3-86 पुगन्तलघूपधस्य च।
= गोपाय । ‘गोपाय’ gets the धातु-सञ्ज्ञा by 3-1-32 सनाद्यन्ता धातवः।

The प्रातिपदिकम् ‘गोपायितृ’ is derived as follows:
गोपाय + तृच् । By 3-1-133 ण्वुल्तृचौ – The affixes ‘ण्वुल्’ and ‘तृच्’ may be used after a verbal root. Note: As per 3-4-67 कर्तरि कृत्‌, these affixes are used in the sense of the agent of the action.
= गोपाय + तृ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः। Note: ‘तृ’ gets आर्धधातुक-सञ्ज्ञा by 3-4-114 आर्धधातुकं शेषः।
= गोपाय + इट् तृ । By 7-2-35 आर्धधातुकस्येड् वलादेः, 1-1-46 आद्यन्तौ टकितौ।
= गोपाय + इ तृ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= गोपाय् + इ तृ । By 6-4-48 अतो लोपः।
= गोपायितृ । ‘गोपायितृ’ gets the प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

The पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम् is गोपायितरि। The derivation of the form गोपायितरि from the प्रातिपदिकम् ‘गोपायितृ’ is similar to the derivation of the form गोपितरि from the प्रातिपदिकम् ‘गोपितृ’ shown above.

3. Which सूत्रम् justifies the use of a third case affix in the form वृष्ट्या?
Answer: The use of a third case affix in the form वृष्ट्या (स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘वृष्टि’, तृतीया-एकवचनम्) – which is co-occuring with विना – is justified by the सूत्रम् 2-3-32 पृथग्विनानानाभिस्तृतीयान्यतरस्याम्‌ – A third case affix (‘टा’, ‘भ्याम्’, ‘भिस्’) or a fifth case affix (‘ङसिँ’, ‘भ्याम्’, ‘भ्यस्’) or a second case affix (‘अम्’, ‘औट्’, ‘शस्’) is used following a प्रातिपदिकम् (nominal stem) co-occurring with पृथक्, विना or नाना।

वृष्टि + टा । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टाभ्याम्भिस्ङेभ्याम्भ्यस्ङसिँभ्याम्भ्यस्ङसोसाम्ङ्योस्सुप्।
= वृष्टि + आ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-7 चुटू, 1-3-9 तस्य लोपः।
= वृष्ट्या । By 6-1-77 इको यणचि।

4. Can you spot the augment मुँक् in the verses?
Answer: The augment मुँक् occurs in the verses in the form गाहमाने (प्रातिपदिकम् ‘गाहमान’, पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्) – derived from the verbal root √गाह् (गाहूँ विलोडने १.७३६) as follows –

गाह् + लँट् । By 3-2-123 वर्तमाने लट्।
= गाह् + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= गाह् + शानच् । By 3-2-124 लटः शतृशानचावप्रथमासमानाधिकरणे। Note: As per 1-3-12 अनुदात्तङित आत्मनेपदम् the verbal root √गाह् is आत्मनेपदी। Therefore √गाह् has taken the affix ‘शानच्’ which has the designation आत्मनेपदम् as per 1-4-100 तङानावात्मनेपदम् and not the affix ‘शतृँ’ which has the designation परस्मैपदम् as per 1-4-99 लः परस्मैपदम्।
= गाह् + आन । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= गाह् + शप् + आन । By 3-1-68 कर्तरि शप्।
= गाह् + अ + आन । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-9 तस्य लोपः।
= गाह मुँक् + आन । By 7-2-82 आने मुक् – A letter ‘अ’ belonging to a अङ्गम् takes the augment मुँक् when followed by ‘आन’। As per 1-1-46 आद्यन्तौ टकितौ – the augment मुँक् joins after the letter ‘अ’।
= गाह म् + आन । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= गाहमान । ‘गाहमान’ gets प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

गाहमान + ङि । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टाभ्याम्भिस्ङेभ्याम्भ्यस्ङसिभ्याम्भ्यस्ङसोसाम्ङ्योस्सुप्‌।
= गाहमान + इ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= गाहमाने । By 6-1-87 आद्‌‌गुण:।

5. Where has the सूत्रम् 2-3-37 यस्य च भावेन भावलक्षणम्‌ been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 2-3-37 यस्य च भावेन भावलक्षणम्‌ has been used in the form गोप्तरि (प्रातिपदिकम् ‘गोप्तृ’, पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्) as well as the corresponding participle गाहमाने (प्रातिपदिकम् ‘गाहमान’, पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्) and the pronoun तस्मिन् (प्रातिपदिकम् ‘तद्’, पुंलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्)।
Note: The action (लक्षण-क्रिया) in the absolute clause is generally expressed by using a participle ending in a कृत् affix. This participle (here ‘गाहमान’) – being in grammatical agreement with the प्रातिपदिकम् (here the subject ‘गोप्तृ’) which denotes the agent/object of the action – also takes the seventh case affix.

6. How would you say this in Sanskrit?
“Arjuna became the best among the archers.” Use the कृत् affix क्विँप् to form a उपपद-समास: for ‘archer’ (= ‘one who bears a bow’ = धनुर्बिभर्ति।)
Answer: अर्जुनः धनुर्भृत्सु उत्तमः बभूव = अर्जुनो धनुर्भृत्सूत्तमो बभूव।
अथवा –
अर्जुनः धनुर्भृताम् उत्तमः बभूव = अर्जुनो धनुर्भृतामुत्तमो बभूव।

Easy questions:
1. Which सूत्रम् prescribes the substitution ‘ई’ in the form आसीत्?
Answer: The सूत्रम् 7-3-96 अस्तिसिचोऽपृक्ते prescribes substitution ‘ई’ in the form आसीत् – derived from the verbal root √अस् (असँ भुवि २. ६०).

Please refer to answer to question 5 in the following comment for derivation of आसीत् – http://avg-sanskrit.org/2012/08/28/भ्रमति-स्म-3as-लँट्/#comment-4318

2. Where has the सूत्रम् 3-4-81 लिटस्तझयोरेशिरेच् been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 3-4-81 लिटस्तझयोरेशिरेच् has been used in the form बबाधे – derived from the verbal root √बाध् (बाधृँ लोडने (विलोडने)१. ५).

The विवक्षा is लिँट्, कर्तरि प्रयोग:, प्रथम-पुरुषः, एकवचनम्।
बाध् + लिँट् । By 3-2-115 परोक्षे लिँट।
= बाध् + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= बाध् + तिप् । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्, 1-3-12 अनुदात्तङित आत्मनेपदम्।
= बाध् + एश् । By 3-4-81 लिटस्तझयोरेशिरेच् – When they come in place of लिँट्, the affixes ‘त’ and ‘झ’ take the substitutions ‘एश्’ and ‘इरेच्’ respectively (ref. 1-3-10 यथासंख्यमनुदेशः समानाम्)। Note: As per 1-1-55 अनेकाल् शित् सर्वस्य, ‘एश्’ replaces the entire term ‘तिप्’ ।
= बाध् + ए । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= बाध् बाध् + ए । By 6-1-8 लिटि धातोरनभ्यासस्य।
= बा बाध् + ए । By 7-4-60 हलादिः शेषः।
= ब बाध् + ए । By 7-4-59 ह्रस्वः।
= बबाधे ।