1. In the first twenty verses of Chapter Thirteen of the गीता where has the सूत्रम् 2-3-36 सप्तम्यधिकरणे च (used in step 1) been used to prescribe a seventh case affix following a प्रातिपदिकम् (nominal stem) having the sense of either ‘far’ or ‘near’?
Answer: The सूत्रम् 2-3-36 सप्तम्यधिकरणे च has been used to prescribe a seventh case affix following a प्रातिपदिकम् (nominal stem) having the sense of ‘near’ in the form अन्तिके (प्रातिपदिकम् ‘अन्तिक’, नपुंसकलिङ्गे सप्तमी-एकवचनम्) in the following verse –

बहिरन्तश्च भूतानामचरं चरमेव च |
सूक्ष्मत्वात्तदविज्ञेयं दूरस्थं चान्तिके च तत्‌ || 13-16||

2. Commenting on the सूत्रम् 2-3-36 सप्तम्यधिकरणे च the सिद्धान्तकौमुदी says – ‘दूरान्तिकार्थेभ्य: -’ इति विभक्तित्रयेण सह चतस्रोऽत्र विभक्तय: फलिता:। Please explain.
Answer: Including the three case affixes prescribed by 2-3-35 दूरान्तिकार्थेभ्यो द्वितीया च, a total of four case affixes – second, third, fifth and seventh – may be used following a प्रातिपदिकम् (nominal stem) having the sense of either ‘far’ or ‘near.’
Note: Second, third and fifth case affixes are prescribed by 2-3-35 and the seventh case affix is prescribed by 2-3-36.

3. In the verses a sixth case ending has been used in दृशाम्। Which other case ending (other than the sixth case ending) could be used?
Answer: Alternatively, a fifth case affix could be used to give the form दृग्भ्यः as per the सूत्रम् 2-3-34 दूरान्तिकार्थैः षष्ठ्यन्यतरस्याम्‌ – A sixth case affix (‘ङस्’, ‘ओस्’, ‘आम्’) or a fifth case affix (‘ङसिँ’, ‘भ्याम्’, ‘भ्यस्’) is used following a प्रातिपदिकम् (nominal stem) co-occurring with a word having the sense of either ‘far’ or ‘near.’ Note: In the present example दृशाम्/दृग्भ्यः is co-occurring with दूरे (meaning ‘far.’)

4. Which सूत्रम् prescribes the substitution ‘ल्यप्’ (in place of ‘क्त्वा’) in the form आविश्य?
Answer: The सूत्रम् 7-1-37 समासेऽनञ्पूर्वे क्त्वो ल्यप्‌ prescribes the substitution ‘ल्यप्’ (in place of ‘क्त्वा’) in the form आविश्य – derived from the verbal root √विश् (विशँ प्रवेशने ६. १६०) preceded by the उपसर्गः ‘आङ्’।

विश् + क्त्वा । By 3-4-21 समानकर्तृकयोः पूर्वकाले।
Note: Here the common agent of the actions आविश्य (having entered) and वर्तते (abides) is मनः। The earlier of the two actions is the action of entering which is denoted by √विश् and hence √विश् takes the affix ‘क्त्वा’।
Note: अव्ययकृतो भावे (from महाभाष्यम्) – कृत् affixes (such as ‘क्‍त्‍वा’) having the अव्यय-सञ्ज्ञा are used to denote भाव: (action) – and not the agent (ref. 3-4-67 कर्तरि कृत्‌) of the action.
= आङ् + विश् + क्त्वा । ‘विश् + क्त्वा’ is compounded with ‘आङ्’ using the सूत्रम् 2-2-18 कुगतिप्रादयः।
= आङ् + विश् + ल्यप् । By 7-1-37 समासेऽनञ्पूर्वे क्त्वो ल्यप्‌ – When the affix ‘क्त्वा’ occurs at the end of a compound, it is replaced by ‘ल्यप्’ provided the prior member of the compound is a अव्‍ययम् other than ‘नञ्’ (ref. 2-2-6). The entire term ‘क्त्वा’ is replaced by ‘ल्यप्’ as per the परिभाषा-सूत्रम् 1-1-55 अनेकाल्शित्सर्वस्य।
Note: As per 1-1-56 स्थानिवदादेशोऽनल्विधौ, the substitution ‘ल्यप्’ (in place of the affix ‘क्त्वा’) inherits the property of being a कित् (having the letter ‘क्’ as a इत्) affix with the designation कृत् (by 3-1-93 कृदतिङ्) and आर्धधातुकम् (by 3-4-114 आर्धधातुकं शेषः।)
= आ + विश् + य । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
Note: Since the affix ‘य’ does not begin with a वल् letter it cannot take the augment ‘इट्’ (by 7-2-35 आर्धधातुकस्येड् वलादेः।)
= आविश्य ।
‘आविश्य’ gets the प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च and the अव्यय-सञ्ज्ञा by 1-1-40 क्त्वातोसुन्कसुनः with the help of 1-1-56 स्थानिवदादेशोऽनल्विधौ।
आविश्य + सुँ (default) । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टाभ्याम्भिस्ङेभ्याम्भ्यस्ङसिँभ्याम्भ्यस्ङसोसाम्ङ्योस्सुप्।
= आविश्य । By 2-4-82 अव्ययादाप्सुपः।

5. Where has the सूत्रम् 7-1-81 शप्श्यनोर्नित्यम् been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 7-1-81 शप्श्यनोर्नित्यम् has been used in the form अनुस्मरन्त्यः (स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘अनुस्मरन्ती’, प्रथमा-बहुवचनम्)।

Please see answer to question 4 in the following comment for derivation of the स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘अनुस्मरन्ती’ – http://avg-sanskrit.org/2013/01/23/भीरुः-fns/#comment-18139

The विवक्षा is प्रथमा-बहुवचनम्।
अनुस्मरन्ती + जस् । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टाभ्याम्भिस्ङेभ्याम्भ्यस्ङसिभ्याम्भ्यस्ङसोसाम्ङ्योस्सुप्‌।
= अनुस्मरन्ती + अस् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-7 चुटू and 1-3-9 तस्य लोपः। 1-3-4 न विभक्तौ तुस्माः prevents the ending letter ‘स्’ of ‘जस्’ from getting the इत्-सञ्ज्ञा।
= अनुस्मरन्त्यस् । By 6-1-77 इको यणचि। Note: 6-1-102 प्रथमयोः पूर्वसवर्णः is stopped by 6-1-105 दीर्घाज्जसि च।
= अनुस्मरन्त्यः । रुँत्व-विसर्गौ by 8-2-66 ससजुषो रुः and 8-3-15 खरवसानयोर्विसर्जनीयः।

6. How would you say this in Sanskrit?
“O Lord! May I always be close to You.”
Answer: हे नाथ ! सदा तव/ते समीपे स्याम् = हे नाथ ! सदा तव/ते समीपे स्याम्।

Easy questions:
1. Which सूत्रम् prescribes the substitution ‘ए’ in the form वर्ते?
Answer: The सूत्रम् 3-4-79 टित आत्मनेपदानां टेरे prescribes the substitution ‘ए’ in the form वर्ते – derived from the verbal root √वृत् (वृतुँ वर्तने १. ८६२).

The विवक्षा is लँट्, कर्तरि प्रयोग:, उत्तम-पुरुषः, एकवचनम्।
वृत् + लँट् । By 3-2-123 वर्तमाने लट्।
= वृत् + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= वृत् + इट् । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्, 1-3-12 अनुदात्तङित आत्मनेपदम्।
= वृत् + इ । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= वृत् + ए । By 3-4-79 टित आत्मनेपदानां टेरे – The टि-भागः of a आत्मनेपद-प्रत्ययः which substitutes a टित्-लकारः (a लकार: which has the letter ‘ट्’ as a इत्), gets the letter ‘ए’ as the replacement.
Note: As per the सूत्रम् 1-1-64 अचोऽन्त्यादि टि the ‘टि’ portion of the affix ‘त’ is ‘अ’। This portion gets replaced by the letter ‘ए’।
= वृत् + शप् + ए । By 3-1-68 कर्तरि शप्।
= वृत् + अ + ए । By अनुबन्ध-लोपः by 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= वर्त् + अ + ए । By 7-3-86 पुगन्तलघूपधस्य च, 1-1-51 उरण् रपरः।
= वर्ते । By 6-1-97 अतो गुणे ।

2. Where has the सूत्रम् 3-1-33 स्यतासी लृलुटोः been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 3-1-33 स्यतासी लृलुटोः has been used in the form उपैष्यथ – derived from the verbal root √इ (इण् गतौ २. ४०).

The विवक्षा is लृँट्, कर्तरि प्रयोग:, मध्यम-पुरुषः, बहुवचनम्।
इ + लृँट् । By 3-3-13 लृट् शेषे च।
= इ + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= इ + थ । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्, 1-3-78 शेषात् कर्तरि परस्मैपदम्।
= इ + स्य + थ । By 3-1-33 स्यतासी लृलुटोः – The affixes ‘स्य’ and ‘तासिँ’ are prescribed after a धातुः when followed by ‘लृँ’ (लृँट् or लृँङ्) or लुँट् respectively. Note: 3-1-33 is an exception (अपवाद:) tor 3-1-68 कर्तरि शप्‌ etc. Note: The affix ‘स्य’ has the designation आर्धधातुकम् by the सूत्रम् 3-4-114 आर्धधातुकं शेषः।
Note: 7-2-10 एकाच उपदेशेऽनुदात्तात्‌ stops 7-2-35 आर्धधातुकस्येड् वलादेः।
= ए + स्य + थ । By 7-3-84 सार्वधातुकार्धधातुकयोः।
= एष्यथ । By 8-3-59 आदेशप्रत्यययो:।

‘उप’ is the उपसर्गः (ref. 1-4-59 उपसर्गाः क्रियायोगे, 1-4-80 ते प्राग्धातोः।)
उप + एष्यथ = उपैष्यथ । By 6-1-89 एत्येधत्यूठ्सु – वृद्धिः is the एकादेशः (single substitute) in place of the ending letter ‘अ’ or ‘आ’ of a उपसर्गः and the following एच् letter belonging to the verbal root √इ (इण् गतौ २. ४०) or √एध् (एधँ वृद्धौ १. २).
Note: Here 6-1-88 वृद्धिरेचि is over-ruled by 6-1-94 एङि पररूपम्। By 6-1-94 एङि पररूपम्, in place of the ending letter ‘अ’ or ‘आ’ of a उपसर्गः and the following letter ‘ए’ or ‘ओ’ belonging to a verbal root, there is an एकादेशः (single substitute) of the latter (पररूपम्।) So we would have got the undesired form उप + एष्यथ as उपेष्यथ । But 6-1-94 एङि पररूपम् is over-ruled by the specific rule 6-1-89 एत्येधत्यूठ्सु।