1. Where has the सूत्रम् 1-4-31 भुवः प्रभवः been used in the last fifteen verses of Chapter Eight of the गीता?
Answer: The सूत्रम् 1-4-31 भुवः प्रभवः has been used in the last fifteen verses of Chapter Eight of the गीता in the form अव्यक्ताद्‌ (प्रातिपदिकम् ‘अव्यक्त’, नपुंसकलिङ्गे पञ्चमी-एकवचनम्)।
अव्यक्ताद्‌ व्यक्तयः सर्वाः प्रभवन्त्यहरागमे |
रात्र्यागमे प्रलीयन्ते तत्रैवाव्यक्तसंज्ञके व्यक्तसंज्ञके || 8-18||

2. The term भुवः used in the सूत्रम् 1-4-31 भुवः प्रभवः is षष्ठी-एकवचनम् of the स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘भू’। Commenting on this the तत्त्वबोधिनी says – संपदादित्वाद्भावे क्विप्। Please explain.
Answer: (When the स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘भू’ is used in the well-known meaning of ‘earth’, it is derived in the sense of कर्तरि by using the affix क्विँप् prescribed by the सूत्रम् 3-2-178 अन्येभ्योऽपि दृश्यते।) The तत्त्वबोधिनी clarifies that the स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘भू’ as used in the सूत्रम् 1-4-31 भुवः प्रभवः is derived in the sense of भावे using the वार्तिकम् (under 3-3-94 स्त्रियां क्तिन्) सम्पदादिभ्‍यः क्विप्। (क्तिन्नपीष्‍यते) as follows –

भू + क्विँप् । By the वार्तिकम् (under 3-3-94 स्त्रियां क्तिन्) सम्पदादिभ्‍यः क्विप् (क्तिन्नपीष्‍यते) – The affix क्विँप् (as well as क्तिन्) maybe used following the verbal root सम्पद् (√पद् (पदँ गतौ ४. ६५) preceded by the उपसर्ग: ‘सम्’) etc to denote in the feminine gender either (i) the sense of the verbal root as having attained to a completed state or (ii) any कारक: except the agent of the action, provided the word so derived is a proper name.
Note: ‘भू’ is considered to belong to the सम्पदादि-गण:।
= भू + व् । अनुबन्ध-लोप: by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-8 लशक्वतद्धिते and 1-3-9 तस्य लोपः।
= भू । By 6-1-67 वेरपृक्तस्य। ‘भू’ gets प्रातिपदिक-सञ्ज्ञा by 1-2-46 कृत्तद्धितसमासाश्च।

The विवक्षा in the form भुवः (used in the सूत्रम् 1-4-31) is षष्ठी-एकवचनम्।

भू + ङस् । By 4-1-2 स्वौजसमौट्छष्टाभ्याम्भिस्ङेभ्याम्भ्यस्ङसिभ्याम्भ्यस्ङसोसाम्ङ्योस्सुप्‌।
= भू + अस् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-9 तस्य लोपः। 1-3-4 न विभक्तौ तुस्माः prevents the ending letter ‘स्’ of ‘ङस्’ from getting the इत्-सञ्ज्ञा।
= भ् उवँङ् + अस् । By 6-4-77 अचि श्नुधातुभ्रुवां य्वोरियङुवङौ – If an affix beginning with an अच् (vowel) follows, then the (ending letter of the) अङ्गम् is replaced by इयँङ्/उवँङ् in the following three cases – (1) If the अङ्गम् ends in the affix ‘श्नु’ or (2) If the अङ्गम् ends in the इवर्ण: or उवर्ण: of a धातु: or (3) If the अङ्गम् is the word ‘भ्रू’ । (As per 1-1-53 ङिच्च only the ending letter ‘ऊ’ of the अङ्गम् is substituted.)
= भुवस् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम् ,1-3-9 तस्य लोपः।
= भुवः । रुँत्व-विसर्गौ by 8-2-66 ससजुषो रुँ, 8-3-15 खरवसानयोर्विसर्जनीयः।

3. Commenting further on the सूत्रम् 1-4-31 भुवः प्रभवः the तत्त्वबोधिनी says – पूर्वसूत्रे समासनिर्दिष्टमपि कर्तृग्रहणमनुवर्तते स्वरितत्वात्। Please explain.
Answer: The term ‘कर्तृ’ comes as अनुवृत्तिः into the सूत्रम् 1-4-31 भुवः प्रभवः from the prior सूत्रम् 1-4-30 जनिकर्तुः in spite of ‘कर्तृ’ being a part of the compound जनिकर्तुः (षष्ठी-एकवचनम् of the प्रातिपदिकम् ‘जनिकर्तृ’)। The justification for doing this is the fact that ‘कर्तृ’ is marked with a स्वरित: accent (ref. 1-3-11 स्वरितेनाधिकारः) in the compound ‘जनिकर्तृ’।

4. Which कृत् affix is used to derive the स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘इज्या’ (used in the compound अच्युतेज्या in the verses)?
Answer: The कृत् affix क्यप्‌ is used to derive the स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘इज्या’ – derived from the verbal root √यज् (यजँ देवपूजासङ्गतिकरणदानेषु १. ११५७).
Please see the following post for derivation of the स्त्रीलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘इज्या’ – http://avg-sanskrit.org/2013/05/06/इज्याम्-fas/

5. Which सूत्रम् justifies the use of a second case affix in the form मूलसेकम् used in the commentary?
Answer: The use of a second case affix in the form मूलसेकम् (पुंलिङ्ग-प्रातिपदिकम् ‘मूलसेक’, द्वितीया-एकवचनम्) is justified by the सूत्रम् 2-3-32 पृथग्विनानानाभिस्तृतीयान्यतरस्याम्‌ – A third case affix (‘टा’, ‘भ्याम्’, ‘भिस्’) or a fifth case affix (‘ङसिँ’, ‘भ्याम्’, ‘भ्यस्’) or a second case affix (‘अम्’, ‘औट्’, ‘शस्’) is used following a प्रातिपदिकम् (nominal stem) co-occurring with पृथक्, विना or नाना।
In the commentary the प्रातिपदिकम् ‘मूलसेक’ co-occurs with विना।

6. How would you say this in Sanskrit?
“The Gaṅgā emanates (first appears) from the Himālaya.”
Answer: हिमवतः गङ्गा प्रभवति = हिमवतो गङ्गा प्रभवति।

Easy questions:

1. Where has the सूत्रम् 3-1-69 दिवादिभ्यः श्यन् been used in the verses?
Answer: The सूत्रम् 3-1-69 दिवादिभ्यः श्यन् been used in the form तृप्यन्ति – derived from the verbal root तृप् (तृपँ प्रीणने ४. ९२).

The विवक्षा is लँट्, कर्तरि प्रयोग:, प्रथम-पुरुषः, बहुवचनम्।
तृप् + लँट् । By 3-2-123 वर्तमाने लट्।
= तृप् + ल् । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-2 उपदेशेऽजनुनासिक इत्, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= तृप् + झि । By 3-4-78 तिप्तस्झिसिप्थस्थमिब्वस्मस्तातांझथासाथांध्वमिड्वहिमहिङ्, 1-3-78 शेषात् कर्तरि परस्मैपदम्।
= तृप् + श्यन् + झि । By 3-1-69 दिवादिभ्यः श्यन् – The affix ‘श्यन्’ is placed after the verbal roots belonging to the दिवादि-गणः, when followed by a सार्वधातुकम् affix that is used signifying the agent. Note: Since the सार्वधातुकम् affix ‘श्यन्’ is अपित् (does not have the letter ‘प्’ as a इत्) by 1-2-4 सार्वधातुकमपित् it behaves ङिद्वत् – as if it has the letter ‘ङ्’ as a इत्। This allows 1-1-5 क्क्ङिति च to prevent 7-3-86 पुगन्तलघूपधस्य च from applying.
= तृप् + य + झि । अनुबन्ध-लोपः by 1-3-8 लशक्वतद्धिते, 1-3-3 हलन्त्यम्, 1-3-9 तस्य लोपः।
= तृप् + य + अन्ति । By 7-1-3 झोऽन्तः।
= तृप्यन्ति । By 6-1-97 अतो गुणे।

2. Can you spot the affix ‘श’ in the verses?
Answer: The affix ‘श’ occurs in the form प्रविशन्ति – derived from the verbal root √विश् (विशँ प्रवेशने ६. १६०).
Please see answer to question 1 in the following comment for derivation of the form प्रविशन्ति – http://avg-sanskrit.org/2011/10/25/अनुपृच्छसि-2as-लँट्/#comment-1480